Vyriešte čo najviac z desiatich hlavolamov nižšie
Máme 8 jahôd ktoré vyzerajú na prvý pohľad všetky úplne rovnako. Jedna z jahôd je o trošku ľahšia alebo ťažšia ako ostatných 7. Ostatných 7 má zhodnú váhu.
K dispozícii máme klasické dvojramenné váhy (2 tanieriky oproti sebe, ktoré sa preklápajú podľa toho, ktorý je ako ťažký, teda ak položím na obe po jednej jahode a jahody sú rovnako ťažké, tak sú "vyvážené", ak je jedna jahoda ťažšia, tak tanierik na ktorom je položená práve tá ťažšia, klesne dolu a tanierik s ľahšou stúpne nahor)
úloha: popíšte, akým spôsobom možno pomocou najviac troch vážení na dvojramenných váhach nájsť tú jahodu, ktorá má odlišnú váhu a zároveň o nej aj povedať či je ľahšia alebo ťažšia ako ostatné?
Učiteľ si vymyslel 2 po sebe idúce písmenká z rozsahu a až j (vrátane). Jedno písmenko povedal jednému študentovi a druhé druhému. Študenti mali uhádnuť, aké písmenko má ten druhý. Ich rozhovor prebehol takto:
prvý: neviem, aké je tvoje písmenko.
druhý: ani ja neviem, aké je tvoje písmenko.
prvý: už viem aké je tvoje písmenko!
Aké to boli písmenká? Prečo práve tie?
Nájdi 10 - miestne číslo, v ktorom prvá číslica určuje počet núl v čísle, druhá počet jednotiek, tretia počet dvojok atď. až desiata počet deviatok.
3 ženy varia 3 poživne na jedných kachliach. Poživne sú rovnako energeticky náročné (na prípravu každej treba rovnaké množstvo dreva). Dokopy na ich prípravu bolo treba 8 polien dreva. Žena A dovliekla 5 polien, žena B 3 polená a žena C sa na to vykašľala. Radšej zaplatila. Namiesto polien zložila 8 eur. Ako si ženy A a B rozdelili 8 korún?
Majme dvoje presýpacie hodiny. Jedny sa presýpajú 4 minúty a druhé 7 minút. Ako sa pomocou nich dá namerať presne 9 minút? Samozrejme piesok z hodín nevyberaj a nemeraj odhadom.
Pred krčmou sedeli dvaja opilci. Malý bol synom veľkého ale veľký nebol otcom malého. Je to možné? Ak hej, tak ako?
Stretli sa traja borci: Klampiar, Kuchár a Mečiar. To je náhodička! Veď my máme priezviská rovnaké ako povolania a pri tom nikoho priezvisko sa nezhoduje s jeho povolaním, povedal Mečiar. Hm to som si ani neuvedomil, odpovedal mu Klampiar. Aké sú povolania jednotlivých borcov? Prečo?
Začiatkom leta začalo byť vonku teplo aj večer a pre to vojaci začali chodiť z vychádzok neskoro po 22 hodine, do ktorej boli povolené vychádzky. Major v snahe nastoliť opäť poriadok nariadil toto: pretože v niektorý deň zajtrajškom počínajúc a posledným dňom tohto leta končiac bude vyhlásený nečakaný nočný poplach, o ktorom sa nesmie nikto dozvedieť vopred, musia byť v každý možný deň konania poplachu všetci vojaci o 22:00 pripravení na lôžku, lebo len vtedy sa môžu o poplachu dozvedieť. Jeden z vojakov však ostatných ukľudnil, lebo sa mu podarilo veľmi jednoducho im dokázať, že poplach (tak ako to nariadil major) sa nikdy nemôže konať. Ako to urobil?
Isto viete, že ľudia majú veľa streštených nápadov vo všetkých oblastiach všedného i menej všedného života. Snažia sa okamžite reagovať na mnohé vynárajúce sa problémy. Jedným z takých problémov v súčasnosti je stúpajúca cena ropy. Spolu s ňou rastú aj ceny pohonných látok pre automobily.
V niektorých častiach sveta sa dodnes ako dopravný prostriedok používajú ťavy. Ako isto viete, ťava k svojmu životu potrebuje relatívne málo vody a ani s jedením to veľmi nepreháňa. No a tak sa vynára otázka. Nie je možné ťavy nasadiť ako dopravné prostriedky aj mimo púšte? Je síce pravda, že sú "o čosi" pomalšie ako automobily súčasnosti, ale ta nenáročnosť by to azda mohla vyvážiť nie?
Túto otázku si kladie vedecký tím vedený svetoznámym vedcom Muhammadom Zubyzahrym. Boli preskúmané všetky pre a proti. Azda najzávažnejší dôvod, prečo bola predstava vypustenia tiav na diaľnice ešte nedávno neprípustná, bol fakt, že sa ľudia domnievali, že ťavy nie sú schopné rozoznávať dopravné značky. Posledné výskumy Zubyzahryho tímu tieto domnienky ale vyvrátili.
Zistilo sa, že ak sa ťava celý deň pozerá na jednu dopravnú značku, zapamätá si ju a je schopná ju rozoznávať a časom na ňu azda aj reagovať. Zubyzahry sa rozhodol tento fakt overiť. Našiel teda karavanu šiestich tiav, chystajúcu sa na 6 - dňový pochod púšťou. Každej ťave na zadok namaľoval jednu značku. Zubyzahry dúfal, že sa každá ťava počas 6-dňového pochodu naučí 5 značiek. Vyvstal však ďalší problém. Ako ťavy radiť tak, aby sa to za tých 6 dní stihlo?
Navrhnite teda 6 radení tiav (na každý deň jedno) tak, aby sa každá ťava naučila 5 rôznych značiek. Ťavy sú číslované. Môžete predpokladať, že v prvý deň sú radené 1,2,3,4,5,6 (1. je vedúca ťava, teda v prvý deň nevidí žiadnu značku). Druhý deň môže byť vedúca druhá, tretí deň tretia atď.
Pre ktoré 5 miestne číslo platí, že ak dáme číslo jedna pred neho dostaneme číslo 3 krát menšie, ako ak dáme jednotku za neho?
Za každú podúlohu je jeden bod, za neriešené sa body nestrhávajú teda ak napríklad vyriešiš 11.1 správne, 11.2 nesprávne a ostatne 2 neriešiš, dostávaš 0 bodov, pretože jeden získavaš (správne vyriešenie 11.1) a jeden strácaš (nesprávne vyriešenie 11.2).
Na testovanie môžeš použiť pomôcku (pozorne si prečítaj návod).
Kdesi isto existuje jeden kmeň, ktorého sa ešte nedotkla civilizácia. Tento kmeň pri práci s číslami nepoužíva štandardnú desiatkovú sústavu, na ktorú sme zvyknutí u nás. Na začiatku zapisovali čísla gulôčkami. Teda každé číslo reprezentovali príslušným počtom gulôčiek. Napr. ak chceli napísať číslo 5, nakreslili 5 gulôčiek vedľa seba.
Neskôr však zistili, že ak budú používať pri písaní čísel rôzne znaky, budú môcť s číslami jednoduchšie vykonávať niektoré operácie. Zápis čísla sa teda zmenil. Stále ho zapisovali príslušným počtom znakov ale už to nemuseli byť len gulôčky. Teda číslo 5 zapísali napr. troma štvorčekmi, jednou gulôčkou a jedným trojuholníčkom. Od tohto zápisu už nie je ďaleko k používaniu napr. desiatkovej sústavy.
Aj v tomto kmeni sa našiel človek ktorý na to prišiel. Myšlienka sa zapáčila niekoľkým jeho učencom, "pohlavári" ju však neboli schopní prijať, učenca označili za kacíra a rozštvrtili ho pod lipou za mesačného svitu. Ako to však býva, aj po tomto učencovi zostalo mnoho žiakov a tak je revolúcia v oblasti reprezentácie a práce s číslami už len otázkou času. Dodnes však stále používajú už spomínaný zápis čísiel.
Sčítavanie takýchto čísiel je jednoduché. Jednoducho sa zapíšu za seba. V ďalšom texte budem namiesto gulôčok, štvorčekov, trojuholníčkov, obdĺžničkov a neviem čoho všetkého ešte používať písmenká. Teda napr. čísla
abc +def =abcdef
Trošku ťažšie to je už s násobením. V snahe uľahčiť ho vymysleli nasledujúci systém, ktorý pozostáva z použitých znakov a pravidiel. Každé pravidlo "hovorí" ako sa má konkrétny znak "prepísať". Príklad:
ak by sme chceli číslo aaa vynásobiť dvoma, použili by sme pravidlo a->aa
Toto pravidlo hovorí, že každé písmeno "a" prepíšeme na dvojicu písmen "aa". Teda ak toto pravidlo postupne použijeme na každý výskyt 'a' v čísle aaaa, dostaneme číslo aaaaaaaa.
Je zrejmé, že ak to pravidlo znovu použijeme na číslo, ktoré sme dostali, opäť ho "zdvojnásobíme". Teda ak chceme napr. vypočítať koľko je aa na aaaaaa (2 na šiestu =2*2*2*2*2*2), zoberieme číslo "a" (1) a 6 - krát naň použijeme hore uvedené pravidlo.
Ak začneme "prepisovanie" musíme prepísať každý znak v čísle. Ďalší príklad:
Navrhneme napr. systém pravidiel, ktoré budú k danému číslu "pričítať" jedna. Na reprezentáciu čísla použijeme znaky "a" a "b" a použijeme pravidlá
Číslo začneme písmenkom "b". Je zrejmé, že ak by sme začali a-čkom, číslo by sa nikdy nezväčšilo. Teda:
b (môžeme použiť len pravidlo 2)= ab. Dostali sme číslo 2 (má 2 znaky).
Ďalej, na číslo "ab" môžeme použiť najprv pravidlo 1 a potom pravidlo 2 a dostávame "aab" = 3. Je zjavné že pravidlo 1 nijako neprispieva do veľkosti čísla. Iba ju "zachováva".
Ak by sme chceli pokračovať, tak by sme najprv použili 2 - krát pravidlo 1 a potom pravidlo 2 a dostali by sme opäť číslo o 1 väčšie ako predchádzajúce.
Teda ku každému "počítaciemu systému" je potrebné určiť:
Znaky, ktoré sa budú používať,
Ku každému znaku práve jedno prepisovacie pravidlo,
Počiatočné písmeno (môže byť aj skupina písmen)
Pri každom "použití systému" sa musí použiť každé pravidlo, ktoré sa práve dá použiť. Teda nie je Možné "dovoliť" niektorým pravidlám, aby sa použili napr. len v 5. kroku ak ich bolo možné použiť aj skôr. No a ešte jeden príklad:
Pozrime sa čo získame ak budeme používať nasledujúce pravidlá a písmená "a,b,c" ak začneme písmenkom 'a'
a =1
abc=3 (použili sme pravidlo 1)
abcbcc=6 (použili sme pravidla 1,2,3)
abcbccbccc=10 (pravidla 1,2,3,2,3,3)
teda ak začneme písmenkom "a" a predchádzajúce pravidlá použijeme 3 krát, dostaneme súčet čísel 1+2+3+4. Ak použijeme pravidlá napr. 6 krát dostaneme súčet čísel 1,2,3,4,5,6,7. Rovnako aj pre 10, 15, pre ľubovoľné kladné celé číslo.
Navrhnite počítací systém na sčítanie iba párnych čísel. Teda ak ho vykonám napr. 5 krát, dostanem súčet čísel 2+4+6+8+10.
opíšte postup ako by som mal navrhnúť počítací systém ak by som chcel vynásobiť 2 čísla (napr. abc * def). Napíšte symboly a pravidla k systému v zátvorkách.
Navrhnite počítací systém, ktorý bude fungovať nasledovne:
začnem s číslom 1,
po prvom kroku dostanem číslo 4 =2*2
po druhom kroku číslo 9 = 3*3
po treťom kroku číslo 16 = 4*4
...
po kroku číslo b číslo (b+1)*(b+1) teda (b+1) na druhú.
Navrhnite počítací systém v ktorom po b - tom kroku dostanem číslo (b+1)*(b+1)*(b+1) teda (b+1) na tretiu.
| Meno | plus | minus |
|---|---|---|
| Rosík Ondrej | 0 | 3 |
| Nováková Simona | 0 | 1 |
| Petrovčinová Vierka | 0 | 3 |
| Miškuvová Júlia | 1 | 3 |
| Foltín Martin | 2 | 1 |
| Marcinko Miroslav | 1 | 0 |
| Homola Michal | 2 | 0 |
| Kubačka Marek | 0 | 1 |